利用法线编辑高光

1. 问题

通过修改法向量达到修改光强的效果。假设原法向量为$n$，光照方向为$D$，对应原光强$L_0 = n\cdot D$。现在希望通过叠加法向量$\delta n$达到修改光强$\delta L$。

2. 原理

对应求解以下的方程
$$\begin{split} \frac{(n + \delta n)\cdot D}{\| n + \delta n\|} &= L_0 + \delta L\\ \frac{\delta n \cdot D}{\| n + \delta n\|} &= \delta L ~~(\text{since}~n\cdot D = L_0) \end{split}$$
方程欠定。添加约束$\| n + \delta n\| = 1$，方程拆解为
$$\delta n \cdot D = \delta L ~~(\text{超平面方程})\\ \| n + \delta n\| = 1 ~~(\text{球方程})$$
说明方程组的解集为超平面和球的交集(圆、点、空集)，依然欠定。设超平面的切向量为$\tau_1$，$\tau_2$，则
$$\delta n = \delta L \cdot D + k_1 \tau_1 + k_2 \tau_2 \\ n = \underset{=L_0}{(n\cdot D)}D + (n\cdot \tau_1)\tau_1 + (n\cdot \tau_2)\tau_2$$
于是
$$(L_0+\delta L)^2 + (n\cdot \tau_1+k_1)^2 + (n\cdot \tau_2+k_2)^2 = 1 \\ (n\cdot \tau_1+k_1)^2 + (n\cdot \tau_2+k_2)^2 = 1-(L_0+\delta L)^2$$
当$L_0 + \delta L < 1$，令$r^2 =1 -(L_0 + \delta L)^2 > 0$，转为最优化问题
$$\min_{k_1,k_2} k_1^2 + k_2^2\\s.t.~(n\cdot \tau_1+k_1)^2 + (n\cdot \tau_2+k_2)^2=r^2$$
几何上，相当于计算坐标原点到圆的最小距离$d_m$。圆心坐标$C=(-n\cdot \tau_1,-n\cdot \tau_2)$，半径为$r$。令$d$为坐标原点到圆心的距离
$$d_m = |d-r|$$
对应的坐标
$$(k_1^*,k_2^*) = d_m \cdot C$$
当$L_0 + \delta L = 1$，方程右边为零，可以求出唯一解
$$k_1 = - n \cdot \tau_1, ~k_2 = -n \cdot \tau_2$$
用极限的思想，$r \rightarrow 0^+$，此时有$d_m \rightarrow d$，$\delta L = 1 - L_0$，继续使用表达式$(k_1^*,k_2^*) = d_m \cdot C$作为最优解可保证连续性。

当$L_0 + \delta L > 1$，说明已经超过最大光强，不可实现，所以采用$L_0 + \delta L = 1$情形下的解。

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